MaxxMax科學(xué)家剛剛提出KAN。 Tegmark和北京大學(xué)同學(xué)劉子鳴，又出現(xiàn)了一項(xiàng)重磅研究！團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)，他們用AI在物理學(xué)中找到了新的方程。從那以后，AI很可能被引入物理學(xué)研究領(lǐng)域，幫助人類科學(xué)家做出新的發(fā)現(xiàn)。

就在剛才，MIT科學(xué)家用AI發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的物理方程。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2405.04484

作者說：本文沒有解決核聚變問題，價(jià)值數(shù)百萬美元，而是在更簡單的設(shè)置中引入了一個(gè)有前途的概念驗(yàn)證。

偏微分方程（PDE），可以算是科學(xué)家的面包和黃油，但是它們極為罕見，人類科學(xué)家僅靠紙筆是很難發(fā)現(xiàn)的。

所以，研究人員推出了一個(gè)名為OptPDE的AI系統(tǒng)。

利用這一AI，可以發(fā)現(xiàn)新的、從未見過的可積偏微分方程！

具體而言，在使用了5000個(gè)隨機(jī)初始化的PDE系數(shù)運(yùn)行OptPDE之后，研究人員發(fā)現(xiàn)了4個(gè)可積偏微分方程，其中一個(gè)已知，另外三個(gè)是全新的方程。

MIT科學(xué)家利用這一首創(chuàng)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，為物理學(xué)提供了一種全新的研究模式。

此后，人類可以向系統(tǒng)提供領(lǐng)域知識，AI可以產(chǎn)生希望的假設(shè)，然后人類可以進(jìn)行解釋和驗(yàn)證。

這樣就實(shí)現(xiàn)了整個(gè)物理發(fā)現(xiàn)的閉環(huán)。

01 網(wǎng)民：AI將顛覆每一個(gè)科學(xué)領(lǐng)域

網(wǎng)民們對這項(xiàng)研究表示震驚。

「太燒腦了！如果我對他們的意思有一個(gè)正確的認(rèn)識，那么這個(gè)AI真的很強(qiáng)大很可怕！能夠根據(jù)需要生成模型庫模擬物理系統(tǒng)是一項(xiàng)非常巧妙的技能，可以從AI驅(qū)動的處理中節(jié)省大量的計(jì)算?！?/p>

「即使只是從這些角度來看，我們擁有的AI也可以為各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域提供新的見解和想法，它將會變得更好！」

「我只是打開看看Max是不是？ Tegmark大神的研究，果然如此?！?/p>

這個(gè)網(wǎng)友給出了更專業(yè)的解釋?！?/p>

本質(zhì)上，由于偏微分方程具有較多的CQs，并且自然系統(tǒng)遵循定律(例如熱學(xué))，所以它們在偏微分方程中應(yīng)用了獎勵(lì)函數(shù)。

這項(xiàng)工作非常有意義，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)這些偏微分方程通常非常困難，因?yàn)樗峁┝艘环N方法來加速計(jì)算杠桿的應(yīng)用。

這為生成類似OEIS(整數(shù)序列在線百科全書)的資源提供了機(jī)會。這允許任何領(lǐng)域的研究和搜索這些數(shù)據(jù)庫，看看類似的問題是否已經(jīng)解決，或者相關(guān)的序列或結(jié)構(gòu)是否已經(jīng)存在，而不需要重新開始。

02 迅速「入門」

在PDE有守恒量的情況下，它們可以積累(例如，能量是質(zhì)量彈簧的守恒量)。

所以，研究人員可以將OptPDE設(shè)計(jì)成一個(gè)兩部分的系統(tǒng)，——

(1)計(jì)算任何PDE的守恒量（CQ）數(shù)量；

找出使n_CQ最大化的偏微分方程。

下面是(1)在一些熟悉的系統(tǒng)中的實(shí)際應(yīng)用。

因?yàn)檠芯咳藛T尋找n_CQ的方法是可以微分的，所以只需要在PDE中訓(xùn)練項(xiàng)指數(shù)，通過SGD最大化n_CQ，就可以找到新的微分方程。

他們以u__為由x => u_xxx^三是以項(xiàng)目為基礎(chǔ)，運(yùn)行5000次。

下面是3D解決方案 PCA——

研究人員發(fā)現(xiàn)，他們得到的大部分解決方案都是四個(gè)偏微分方程家族的線性組合，其中一個(gè)是KdV方程的一種形式，另外三個(gè)方程完全是新的，沒有記錄在文獻(xiàn)中！

因此，研究人員決定，在這些新的可積偏微分方程中，至少有一個(gè)守恒量。

也就是說，在AI的幫助下，人類科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一些全新的可積偏微分方程！

然而，要解釋和分析這些發(fā)現(xiàn)，仍然要依靠人類科學(xué)家。

研究人員仔細(xì)分析了下列簡化版的紅色偏微分方程。（u_t=u_x^發(fā)現(xiàn)它表現(xiàn)出斷裂、無限的CQ，而冪律衰減為三角波。

此后，科學(xué)家們很有希望利用OptPDE來發(fā)現(xiàn)更多新穎的可積偏微分方程，從而模擬物理上的復(fù)雜現(xiàn)象。

然而，OptPDE要求人工智能與人類科學(xué)家協(xié)調(diào)工作。作者呼吁，如果這種模式能夠被物理學(xué)界接受，科學(xué)家很可能會在使用現(xiàn)代人工智能工具之前做出更多的新發(fā)現(xiàn)。

03 可積系統(tǒng)：極為罕見，難以發(fā)現(xiàn)。

由于易于處理、可預(yù)測、可控，可積系統(tǒng)在物理和工程系統(tǒng)中發(fā)揮著重要作用。

但是，它們極為罕見，難以發(fā)現(xiàn)。

在傳統(tǒng)中，發(fā)現(xiàn)可積系統(tǒng)的方法是依靠紙筆，它強(qiáng)調(diào)符號推送，并考慮可能的系統(tǒng)和守恒量。（CQ）指數(shù)級大搜索空間，效率極低。

因此，MIT科學(xué)家認(rèn)為：AI能做些什么？

所以，他們引入了OptPDE的可積系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)解決方案。

以前很多工作都是利用極端的學(xué)習(xí)從物理數(shù)據(jù)和微分方程中發(fā)現(xiàn)守恒量的，但是MIT研究者的方法是微分方程最可以解釋的。

此外，以前的方法不能積極優(yōu)化和設(shè)計(jì)偏微分方程。

不過，這個(gè)AI可以做到！

盡管過去機(jī)器學(xué)習(xí)方法已被用來發(fā)現(xiàn)守恒量，但這項(xiàng)工作首次提出——

AI和人類科學(xué)家可以通過驗(yàn)證和解釋集成系統(tǒng)來協(xié)調(diào)工作。

04 論文方法

研究者通過下列階段來構(gòu)建這種方法。

1.CQFinder——尋找PDE的守恒量。

2.OptPDE——在CQFinder中使用

，找出可積PDE。

圖1反映了整個(gè)過程。但需要注意的是，這個(gè)過程需要人類科學(xué)家輸入CQ和PDE基礎(chǔ)，與人工智能協(xié)調(diào)，這就需要了解這一領(lǐng)域的知識。

OptPDE的可視化管道。為PDE提供基礎(chǔ)，OptPDE將提高指數(shù)，從而最大限度地提高PDE的守恒量(CQ) 數(shù)量。起初，u會衰減，不守恒，但OptPDE會通過將擴(kuò)散項(xiàng)歸零來發(fā)現(xiàn)更守恒的指數(shù)。這個(gè)可視化的例子很簡單，但是由于PDE基礎(chǔ)廣泛，OptPDE可以幫助人類科學(xué)家發(fā)現(xiàn)新穎的可積系統(tǒng)。

為構(gòu)建OptPDE，必須首先設(shè)計(jì)CQFinder，以準(zhǔn)確計(jì)算任何PDE的CQ。

具體而言，一階偏微分方程需要一個(gè)有空間變量X的時(shí)間，其形式是

。

其中，

它是u及其空間導(dǎo)數(shù)的集合，并且具有自由初始條件。

。

研究人員應(yīng)考慮形式。

的守恒量。

對CQ量而言，它必須在u的整個(gè)時(shí)間演變中保持恒定。

CQ的時(shí)間不變性可以表示為：

其中，

。

盡管這個(gè)方程看起來很復(fù)雜，但是只需要考慮一個(gè)簡單的設(shè)置，其中h，(u′) 它是k個(gè)預(yù)定義基函數(shù)的線性組合，

。

這里，研究人員需要處理兩個(gè)無限大的問題。

1. 從理論上講，對于任何光滑的u，都必須建立線性方程；在實(shí)踐中，可以測試方程是否可以與這個(gè)無限函數(shù)集相似。

2. 理論上，積分是存在的(-∞,∞)在實(shí)踐中，需要使用有限的范圍來類似于它(在范圍之外將u強(qiáng)制為零)。

研究人員希望在CQFinder中建立子流程，然后進(jìn)行簡單的稀疏化和識別解決方案，因?yàn)樗苋菀妆蝗祟惪茖W(xué)家解釋。

具體而言，研究人員需要將PDE參數(shù)化為預(yù)定PDE的線性組合，

。

采用固定PDE，CQFinder輸出其守恒總數(shù)。

由于CQFinder是由PyTorch編寫的，因此它原則上是可以微分的，因此，研究人員可以通過自動微分來識別PDE指數(shù)中的哪些擾動會增加CQ。

但是，可微性最大的挑戰(zhàn)是守恒量本質(zhì)上是分散的(例如，偏微分方程可以有3或4個(gè)守恒量，而不是3.7個(gè))。

為反向傳播提升指數(shù)提升指數(shù)。

， 目標(biāo)函數(shù)

必須是可以忽略的。

針對這一情況，研究人員引入了sigmoid函數(shù)。

平滑版本。

04 論文結(jié)果

CQFinder基準(zhǔn)測試

為驗(yàn)證CQFinder是否能像每個(gè)人想象的那樣工作，研究人員在Burgers、Korteweg-DeVries(Kd)與薛定諤方程三個(gè)測試系統(tǒng)一起運(yùn)行。

圖2顯示，奇異值曲線顯示從小到大的快速變化，然后可以清楚地區(qū)分消失值和非消失值。

這樣就證明了CQFinder不僅能夠正確計(jì)算守恒總數(shù)，而且還能夠得到它們的符號公式。

AI發(fā)現(xiàn)了三個(gè)新穎的可積系統(tǒng)。

研究人員發(fā)現(xiàn)，全新的可積系統(tǒng)可以通過使用Opt-PDE最大化守恒量來定位OptPDE的流形。

一般選用PDE作為單個(gè)方程。

，其中

，P是多項(xiàng)式最多3次。

實(shí)際上，研究人員使用廣義球坐標(biāo)，自然強(qiáng)制歸一化指數(shù)。

研究人員在OptPDE中使用A=0，B=1000，epochs=25000，學(xué)習(xí)率為10^-3，余弦退火，Tmax=5000。

研究人員運(yùn)行OptPDE，隨機(jī)抽取其它33個(gè)參數(shù)的5000個(gè)初始位置。

隨后，研究人員使用3D 對OptPDE結(jié)果進(jìn)行PCA可視化返回參數(shù)值分析，如圖3所示。

可以看出，解的流形結(jié)構(gòu)很有意思：兩邊有兩個(gè)極點(diǎn)，環(huán)形解位于中間。

2個(gè)極點(diǎn)代表

，這種方法可以積累KdV方程，而環(huán)形的解更加復(fù)雜。

研究人員對這些環(huán)形的解中進(jìn)行了插值。

接著，他們找到了三個(gè)偏微分方程組作為環(huán)形子空間的基礎(chǔ)，如圖3所示。

守恒量表明，這三個(gè)偏微分方程中的每一個(gè)都是新的，而且本質(zhì)上是有趣的。(如附錄I所示)

研究人員將重點(diǎn)放在以下偏微分方程上，因?yàn)樗姆椒ǚ浅＞o湊——

在這個(gè)方程的a=1前提下，研究人員運(yùn)行了CQFinder，發(fā)現(xiàn)它有一個(gè)非凡的CQ?！?/p>

研究人員通過一系列冗長的代數(shù)操作，驗(yàn)證了數(shù)值和符號，

確實(shí)是

的CQ。

在這里，研究人員可以肯定：OptPDE發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的偏微分方程家族，他們承認(rèn)有趣的守恒能力。——

。

人的責(zé)任：解釋AI的發(fā)現(xiàn)

而且在這里，MIT的研究人員表示，下一步人類將承擔(dān)起責(zé)任！

人類科學(xué)家應(yīng)該做的，是利用AI找到的偏微分方程家族，并進(jìn)行解釋。

文章中，研究者僅限于分析a。?一種情況，促進(jìn)

這一特殊情況代表了一個(gè)真正的可積系統(tǒng)，并且有無限數(shù)量的CQ。也就是

所有的n都是守恒的。

研究人員在Mathematica中繪制了具有高斯和正弦初始條件的偏微分方程的演變，如圖所示。

從視覺上看，演變似乎是一種波，在break 在time之后，它已經(jīng)衰退為一種線性重量，此時(shí)，波在某一點(diǎn)上變得不可微分。

研究人員推導(dǎo)了break time的符號模式，并且是breakk中的方程式 time之后的行為，創(chuàng)造了一個(gè)現(xiàn)象學(xué)模型。

Break Time

研究人員注意到，通過在x的兩側(cè)進(jìn)行積分，可以使公式4與Burgers公式相似。

利用特征方程，可以跟蹤穩(wěn)定u的路徑，找出兩個(gè)特征相交的最早時(shí)間。

最終可以得出，Break Time為

，在附錄L中，這與研究人員的模擬結(jié)果大致一致。

現(xiàn)象學(xué)模型

為了理解波break之后的行為，研究人員希望建立一個(gè)現(xiàn)象模型來解釋波接近三角波時(shí)的動態(tài)。

對于這一點(diǎn)，研究人員進(jìn)行了如下推導(dǎo)。

其中一種特殊情況就是a=1，當(dāng)曲線沿高度勻稱收縮時(shí)，就會得到。

，這種情況符合正弦波的情況。

理解其它解決方案

從圖3可以看出，研究者得到的解是高級和非線性的，其立方項(xiàng)由三階導(dǎo)數(shù)組成。

利用物理的直覺來處理這些問題可能是令人望而生畏的，但是研究人員注意到，三階導(dǎo)數(shù)正在出現(xiàn)。 在KdV方程中，或者，如果推導(dǎo)出具有穩(wěn)定性和其他阻力的弦的波動方程，也會出現(xiàn)三階導(dǎo)數(shù)。

物理學(xué)中很少見到非線性多項(xiàng)式方程，但是它確實(shí)存在，比如高速運(yùn)動時(shí)的空氣阻力公式。

。

所以，在物理變化建模中，復(fù)雜的微分方程是很有用的。

對于其它結(jié)果，研究人員表示，希望其他科學(xué)家也能參與其中，共同解釋。

總而言之，這種人類科學(xué)家與人工智能合作的范式，是由MIT研究者引入的，極有可能鼓勵(lì)人類科學(xué)家為物理學(xué)做出新的發(fā)現(xiàn)！

本文來自微信微信官方賬號“新智元”（ID:AI_era），作者：新智元，36氪經(jīng)授權(quán)發(fā)布。

本文僅代表作者觀點(diǎn)，版權(quán)歸原創(chuàng)者所有，如需轉(zhuǎn)載請?jiān)谖闹凶⒚鱽碓醇白髡呙帧?/p>

免責(zé)聲明：本文系轉(zhuǎn)載編輯文章，僅作分享之用。如分享內(nèi)容、圖片侵犯到您的版權(quán)或非授權(quán)發(fā)布，請及時(shí)與我們聯(lián)系進(jìn)行審核處理或刪除，您可以發(fā)送材料至郵箱：service@tojoy.com